Máximo Divisor Comum de 3 números

O que é o MDC de três números

O máximo divisor comum de três números é o maior inteiro positivo que divide todos eles sem deixar resto. Nos textos em inglês ele aparece como GCD, GCF ou HCF, mas o valor é o mesmo. Existe sempre, porque 1 divide qualquer número, e nunca é maior que o menor dos três.

De onde vem a fórmula

Todo inteiro maior que 1 é um produto único de primos, e d divide a exatamente quando cada primo de d aparece em a pelo menos tantas vezes. Para dividir os três ao mesmo tempo, d só pode conter cada primo tantas vezes quanto o mais pobre dos três o contém; tomando essa quantidade, obtém-se o maior divisor possível.

Um primo que falte em pelo menos um dos números desaparece do produto por completo, e por isso acrescentar um terceiro número só pode diminuir a resposta, nunca aumentá-la.

Como calcular em três passos

1. Fatore os três números em primos, por exemplo 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3² e 30 = 2 × 3 × 5.
2. Fique só com os primos presentes nos três, cada um tomado o menor número de vezes: um 2 e um 3.
3. Multiplique o que sobra: 2 × 3 = 6. Esse é o máximo divisor comum.

Fatoração contra Euclides, com um exemplo resolvido

Dois caminhos levam à mesma resposta, e vale a pena vê-los lado a lado com 12, 18 e 30. O primeiro coloca as potências dos primos em uma grade e lê o mínimo de cada linha:

O 5 não contribui com nada: ele falta em dois dos três números, então nenhum divisor comum pode carregá-lo. O segundo caminho não fatora nada. Ele se apoia na associatividade — MDC(a, b, c) = MDC(MDC(a, b), c) — e aplica duas vezes o algoritmo de Euclides:

Euclides descreveu esse procedimento nos Elementos por volta de 300 a.C., e é por isso que o caminho aos pares ganha com números grandes: ele só divide com resto e nunca precisa fatorar. A grade, por outro lado, mostra por que a resposta é essa — que é justamente o que se pede numa solução escolar.

Trios comuns e seu MDC

Onde três números aparecem de fato

• Simplificar uma razão de três termos — 12 : 18 : 24 dividido pelo MDC 6 vira 2 : 3 : 4
• Cortar sem desperdício — tábuas de 12 m, 18 m e 30 m se cortam em pedaços iguais sem sobra apenas em comprimentos que dividem 6 m
• Distribuir em caixas iguais — 12, 18 e 30 itens de três tipos enchem no máximo 6 caixas idênticas sem sobrar nada
• Revestir um retângulo — o maior ladrilho quadrado que encaixa exato em três lados é o máximo divisor comum deles
• Reduzir uma receita de três ingredientes — dividir 12 g, 18 g e 30 g por 6 mantém as proporções intactas
• Problemas escolares — «o maior número que divide 12, 18 e 30» é literalmente esta conta

Limites e ressalvas

• A ordem não importa. MDC(12, 18, 24), MDC(24, 12, 18) e MDC(18, 24, 12) são o mesmo 6, por isso há uma única página por trio sem ordem.
• A resposta nunca é maior que o menor dos números, e é igual a ele exatamente quando esse número divide os outros dois: MDC(6, 12, 18) = 6.
• Um 1 entre os três força a resposta a ser 1, porque nada maior que 1 divide o 1.
• Coprimos dois a dois não é o mesmo que coprimos no conjunto. 6, 10 e 15 têm MDC 1 embora cada par compartilhe um fator: um MDC igual a 1 não significa que os números não tenham nada em comum dois a dois.
• O MDC divide qualquer diferença. Com 12, 18 e 30 ele divide 18 − 12 = 6 e 30 − 18 = 12, o que serve para conferir a resposta à mão.