Máximo Común Divisor de 3 números

Qué es el MCD de tres números

El máximo común divisor de tres números es el mayor entero positivo que divide a todos ellos sin dejar resto. En los textos en inglés aparece como GCD, GCF o HCF: el valor es el mismo. Existe siempre, porque el 1 divide a cualquier número, y nunca es mayor que el menor de los tres.

De dónde sale la fórmula

Todo entero mayor que 1 es un producto único de primos, y d divide a a exactamente cuando cada primo de d aparece en a al menos tantas veces. Para dividir a los tres a la vez, d solo puede contener cada primo tantas veces como lo contenga el más pobre de los tres; tomando esa cantidad resulta el mayor divisor posible.

Un primo que falte aunque sea en uno de los números desaparece del producto por completo, y por eso añadir un tercer número solo puede bajar la respuesta, nunca subirla.

Cómo calcularlo en tres pasos

1. Descomponga los tres números en factores primos, por ejemplo 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3² y 30 = 2 × 3 × 5.
2. Quédese solo con los primos presentes en los tres, cada uno tomado el menor número de veces: un 2 y un 3.
3. Multiplique lo que queda: 2 × 3 = 6. Ese es el máximo común divisor.

Factorización frente a Euclides, con un ejemplo resuelto

Dos caminos llevan a la misma respuesta y vale la pena verlos uno al lado del otro con 12, 18 y 30. El primero coloca las potencias de primos en una cuadrícula y lee el mínimo de cada fila:

El 5 no aporta nada: falta en dos de los tres números, así que ningún divisor común puede llevarlo. El segundo camino no factoriza nada. Se apoya en la asociatividad —MCD(a, b, c) = MCD(MCD(a, b), c)— y aplica dos veces el algoritmo de Euclides:

Euclides describió este procedimiento en los Elementos hacia el año 300 a. C., y sigue siendo la razón por la que el camino por parejas gana con números grandes: solo divide con resto y nunca tiene que factorizar. La cuadrícula, en cambio, muestra por qué la respuesta es la que es, que es justo lo que se pide en una solución escolar.

Tríos habituales y su MCD

Dónde aparecen de verdad tres números a la vez

• Simplificar una razón de tres términos — 12 : 18 : 24 dividido entre su MCD 6 queda en 2 : 3 : 4
• Cortar sin desperdicio — tablones de 12 m, 18 m y 30 m se cortan en trozos iguales sin sobrantes solo con longitudes que dividan 6 m
• Repartir en cajas iguales — 12, 18 y 30 objetos de tres clases llenan a lo sumo 6 cajas idénticas sin que sobre nada
• Embaldosar un rectángulo — la mayor baldosa cuadrada que encaja exacta en tres lados es su máximo común divisor
• Reducir una receta de tres ingredientes — bajar 12 g, 18 g y 30 g dividiendo entre 6 mantiene intactas las proporciones
• Problemas escolares — «el mayor número que divide a 12, 18 y 30» es literalmente este cálculo

Límites y advertencias

• El orden no importa. MCD(12, 18, 24), MCD(24, 12, 18) y MCD(18, 24, 12) son el mismo 6, por eso hay una sola página por trío sin ordenar.
• La respuesta nunca supera al menor de los números, y coincide con él justo cuando ese número divide a los otros dos: MCD(6, 12, 18) = 6.
• Un 1 entre los tres obliga a que la respuesta sea 1, porque nada mayor que 1 divide al 1.
• Coprimos dos a dos no es lo mismo que coprimos en conjunto. 6, 10 y 15 tienen MCD 1 aunque cada pareja comparte un factor: un MCD de 1 no significa que los números no tengan nada en común de dos en dos.
• El MCD divide cualquier diferencia. Con 12, 18 y 30 divide 18 − 12 = 6 y 30 − 18 = 12, lo que sirve para comprobar la respuesta a mano.