Mínimo Común Múltiplo de 3 números

Qué es el MCM de tres números

El mínimo común múltiplo de tres números es el menor entero positivo divisible por cada uno de ellos sin dejar resto. Existe siempre —el producto de los tres ya es un múltiplo común— y nunca es menor que el mayor de ellos.

De dónde sale la fórmula

Todo entero mayor que 1 se descompone en producto de primos, y de una sola manera. Un número es divisible por a exactamente cuando contiene cada primo de a al menos tantas veces como el propio a. Para ser divisible por los tres a la vez tiene que contener cada primo en la mayor de las tres potencias; y si no se toma más que eso, resulta ser el menor número con esa propiedad.

El atajo de dos números —MCM(a, b) = a × b ÷ MCD(a, b)— no tiene análogo para tres. Con 4, 6 y 10 el producto es 240 y el máximo común divisor es 2, y 240 ÷ 2 = 120, mientras que el MCM verdadero es 60: con tres números un primo compartido se descuenta más de una vez.

Cómo calcularlo en tres pasos

1. Descomponga los tres números en factores primos, por ejemplo 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3² y 30 = 2 × 3 × 5.
2. Para cada primo que aparezca en al menos uno de ellos, quédese con la mayor potencia: 2², 3² y 5.
3. Multiplique esas mayores potencias: 4 × 9 × 5 = 180. Ese es el mínimo común múltiplo.

Factorización frente a parejas, con un ejemplo resuelto

Dos caminos llevan a la misma respuesta y vale la pena verlos uno al lado del otro con 12, 18 y 30. El primero coloca las potencias de primos en una cuadrícula y lee el máximo de cada columna:

El segundo camino no factoriza nada. Se apoya en la asociatividad —MCM(a, b, c) = MCM(MCM(a, b), c)— y aplica dos veces la fórmula de dos números:

Cuál usar es cuestión de los números, no de gusto. La cuadrícula es más rápida mientras las descomposiciones se vean a simple vista, y además muestra por qué la respuesta es la que es. El camino por parejas sigue siendo rápido con números imposibles de factorizar, porque el máximo común divisor lo halla el algoritmo de Euclides, que solo divide con resto.

Tríos habituales y su MCM

Dónde aparecen de verdad tres números a la vez

• Sumar tres fracciones — el denominador común de 1/6 + 1/8 + 1/9 es el MCM de 6, 8 y 9, es decir 72
• Horarios que se repiten — tres autobuses que salen cada 12, 18 y 30 minutos vuelven a coincidir a los 180 minutos
• Engranajes y correas — tres ruedas de 12, 18 y 30 dientes regresan a la posición inicial tras 180 pasos
• Corte y embalaje — el menor cuadrado que se cubre exactamente con tiras de 12 cm, 18 cm y 30 cm tiene 180 cm de lado
• Aritmética modular — el periodo de tres ciclos simultáneos es el MCM de sus longitudes
• Problemas escolares — «halle el menor número divisible por 3, 4 y 5» es literalmente este cálculo

Límites y advertencias

• El orden no importa. MCM(3, 4, 5), MCM(5, 3, 4) y MCM(4, 5, 3) son el mismo 60, por eso hay una sola página por trío sin ordenar.
• Un 1 no cambia nada — todo entero es divisible por 1, así que MCM(1, 2, 3) = MCM(2, 3) = 6.
• Un número repetido tampoco cambia nada — una potencia de primo ya contada no se cuenta dos veces: MCM(2, 4, 4) = MCM(2, 4) = 4.
• Coprimos dos a dos no es lo mismo que coprimos en conjunto. 6, 10 y 15 no tienen ningún factor común a los tres, pero cada pareja sí lo tiene, y su MCM es 30, no 900.
• La respuesta crece muy deprisa. Tres números cercanos a mil millones dan un MCM de 27 cifras, y por eso esta página guarda el valor como entero exacto y nunca como número de coma flotante.