Calculadora de simplificação de radicais

O que é a forma radical mais simples

Uma raiz quadrada está na forma radical mais simples quando o número dentro do radical não tem nenhum fator que seja quadrado perfeito além do 1. É disso que trata a simplificação de radicais. √72 não está assim: 72 = 36 × 2, e o 36 pode sair como sua raiz, 6. O que fica é 6√2 — o mesmo número, escrito de forma exata e com o menor radicando possível.

De onde vem a fórmula

Para números não negativos, a raiz de um produto é o produto das raízes: √(x × y) = √x × √y. Separe N no seu maior fator quadrado perfeito a² e no resto b, e a primeira raiz é um número inteiro, porque √(a²) = a para a ≥ 0:

A regra vale apenas para x, y ≥ 0: por isso esta página simplifica raízes quadradas de números não negativos e nada mais.

Como simplificar uma raiz quadrada em três passos

1. Fatore o número em primos: 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3.
2. Agrupe os primos iguais em pares: (2 × 2) × (3 × 3) × 2. Cada par é um quadrado perfeito.
3. Tire da raiz um primo de cada par e multiplique-os; os primos sem par ficam dentro: 2 × 3 × √2 = 6√2.

Exemplo resolvido: √72

Os mesmos três passos escritos por inteiro, com a conferência que pega uma resposta errada:

Um atalho para números pequenos: percorra a lista de quadrados perfeitos abaixo do maior para o menor e pare no primeiro que divide o número. Para 72 é 36, e 72 ÷ 36 = 2 dá direto √72 = 6√2. Usar um quadrado menor — 4 ou 9 — dá 2√18 ou 3√8, que estão corretos mas ainda não na forma mais simples: os dois radicandos ainda escondem um fator quadrado.

Quadrados perfeitos de 4 a 400

Raízes quadradas frequentes na forma mais simples

Onde os radicais simplificados são usados

• Álgebra escolar — a resposta é esperada na forma exata: 6√2, e não 8,485
• Teorema de Pitágoras — a diagonal de um quadrado de lado 3 é √(3² + 3²) = √18 = 3√2
• Triângulos equiláteros — a altura de um triângulo de lado 4 é √(4² − 2²) = √12 = 2√3
• Equações do segundo grau — x² − 6x + 1 = 0 tem discriminante 32, √32 = 4√2, então x = 3 ± 2√2
• Soma de radicais — só radicais semelhantes se somam: √8 + √18 = 2√2 + 3√2 = 5√2
• Distância entre pontos — de (0, 0) a (2, 4) ela é √(2² + 4²) = √20 = 2√5

Limites e ressalvas

• Só números não negativos. √−8 não é um número real; nos complexos é 2i√2, e esta página não o calcula.
• Só números inteiros. Raízes de frações e decimais, como √(1/2) = √2 ÷ 2, pedem a racionalização do denominador, que é outro procedimento.
• Só raízes quadradas. De uma raiz cúbica saem trios de primos iguais, não pares: ∛16 = 2∛2.
• O decimal é uma conferência, não a resposta. √2 é irracional, então qualquer decimal de 6√2 é arredondado; o valor exato é a própria raiz simplificada.
• Intervalo. O formulário aceita números inteiros de 1 a 2.147.483.643.