Вынесение множителя из-под знака корня
Вынесите множитель из-под знака корня с пошаговым решением
Вынесение множителя из-под знака корня
Вынесение множителя из-под знака корня
Что значит вынести множитель из-под знака корня
Квадратный корень записан в простейшем виде, когда у числа под корнем нет делителей — полных квадратов, кроме 1. У √72 есть: 72 = 36 × 2, и 36 выносится из-под знака корня своим корнем, 6. Остаётся 6√2 — то же самое число, записанное точно и с наименьшим возможным подкоренным выражением. Упростить корень — значит сделать именно это.
Откуда берётся формула
Для неотрицательных чисел корень из произведения равен произведению корней: √(x × y) = √x × √y. Разбейте N на наибольший делитель-полный квадрат a² и остаток b — первый корень окажется целым, потому что √(a²) = a при a ≥ 0:
Правило верно только при x, y ≥ 0 — поэтому эта страница упрощает корни неотрицательных чисел и ничего больше.
Как вынести множитель из-под знака корня: три шага
- Разложите число на простые множители: 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3.
- Объедините одинаковые множители в пары: (2 × 2) × (3 × 3) × 2. Каждая пара — полный квадрат.
- Вынесите из-под корня по одному множителю от каждой пары и перемножьте их, непарные оставьте под корнем: 2 × 3 × √2 = 6√2.
Разбор на примере: √72
Те же три шага целиком — и проверка, которая ловит неверный ответ:
72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3
√72 = √((2 × 2) × (3 × 3) × 2)
= 2 × 3 × √2
= 6√2
проверка: 6² × 2 = 36 × 2 = 72, и 6√2 ≈ 8,485 ≈ √72
Для небольших чисел есть короткий путь: идите по списку полных квадратов ниже с конца — от большего к меньшему — и остановитесь на первом, на который число делится. Для 72 это 36, и 72 ÷ 36 = 2 сразу даёт √72 = 6√2. Если взять квадрат поменьше — 4 или 9, — получится 2√18 или 3√8: это верно, но ещё не простейший вид, под корнем по-прежнему прячется квадратный множитель.
Полные квадраты от 4 до 400
| Полный квадрат | Его квадратный корень |
|---|---|
| 2² = 4 | √4 = 2 |
| 3² = 9 | √9 = 3 |
| 4² = 16 | √16 = 4 |
| 5² = 25 | √25 = 5 |
| 6² = 36 | √36 = 6 |
| 7² = 49 | √49 = 7 |
| 8² = 64 | √64 = 8 |
| 9² = 81 | √81 = 9 |
| 10² = 100 | √100 = 10 |
| 11² = 121 | √121 = 11 |
| 12² = 144 | √144 = 12 |
| 13² = 169 | √169 = 13 |
| 14² = 196 | √196 = 14 |
| 15² = 225 | √225 = 15 |
| 16² = 256 | √256 = 16 |
| 17² = 289 | √289 = 17 |
| 18² = 324 | √324 = 18 |
| 19² = 361 | √361 = 19 |
| 20² = 400 | √400 = 20 |
Ходовые корни в простейшем виде
| Корень | Простейший вид |
|---|---|
| √8 | 2√2 |
| √12 | 2√3 |
| √18 | 3√2 |
| √20 | 2√5 |
| √24 | 2√6 |
| √27 | 3√3 |
| √28 | 2√7 |
| √45 | 3√5 |
| √50 | 5√2 |
| √72 | 6√2 |
| √75 | 5√3 |
| √80 | 4√5 |
| √96 | 4√6 |
| √108 | 6√3 |
| √125 | 5√5 |
| √128 | 8√2 |
Где нужен корень в простейшем виде
- Школьная алгебра — ответ ждут в точной форме: 6√2, а не 8,485
- Теорема Пифагора — диагональ квадрата со стороной 3 равна √(3² + 3²) = √18 = 3√2
- Равносторонний треугольник — высота треугольника со стороной 4 равна √(4² − 2²) = √12 = 2√3
- Квадратные уравнения — у x² − 6x + 1 = 0 дискриминант 32, √32 = 4√2, поэтому x = 3 ± 2√2
- Сложение корней — складываются только подобные корни: √8 + √18 = 2√2 + 3√2 = 5√2
- Расстояние между точками — от (0, 0) до (2, 4) оно равно √(2² + 4²) = √20 = 2√5
Границы применимости
- Только неотрицательные числа. √−8 не является действительным числом; среди комплексных это 2i√2, и эта страница его не считает.
- Только целые числа. Корни из дробей и десятичных, например √(1/2) = √2 ÷ 2, требуют избавиться от иррациональности в знаменателе — это другая процедура.
- Только квадратные корни. Из-под кубического корня множитель выносится тройками одинаковых простых, а не парами: ∛16 = 2∛2.
- Десятичная запись — проверка, а не ответ. √2 иррационален, поэтому любая десятичная запись 6√2 округлена; точное значение — сам упрощённый корень.
- Диапазон. Форма принимает целые числа от 1 до 2 147 483 643.
Смотрите также
- Калькулятор квадратного корня - Вычислить квадратный корень из любого числа
- Делители числа - Список всех делителей числа
- Простое ли число - Узнать, является ли заданное число простым или нет
- Разложение чисел на простые множители - Разложение числа на простые множители (факторизация числа)
- Список простых чисел - Список всех простых чисел - сколько простых чисел в диапазоне