Калькулятор вычитания дробей

Вычитание дробей устроено так же, как сложение: вся работа приходится на дроби с разными знаменателями — их сначала приводят к общему знаменателю и лишь потом вычитают. Отличий от сложения два, и оба важны: порядок чисел меняет ответ, а сам ответ имеет право быть отрицательным. Ниже тема разобрана по шагам — в том же порядке, в каком её проходят в 5–6 классе, — и калькулятор печатает каждую промежуточную строку, оставляя знак на виду, а не переворачивая вопрос молча.

Формула и откуда она берётся

Знаменатель — не вычитаемое, а подпись: он говорит, на сколько частей разрезали целое. Три четверти минус одна четверть дают две четверти именно потому, что все части в этой разности одного размера. Половины и трети разного размера, поэтому 1/2 - 1/3 — это не 0: сначала обе дроби переписывают над общим знаменателем, и наименьший подходящий — НОК двух знаменателей. Для 2 и 3 это 6, поэтому 1/2 - 1/3 превращается в 3/6 - 2/6 = 1/6.

Пошаговый разбор

1. Сократить всё, что сокращается. 2/4 превращается в 1/2 — значение не меняется, зато общий знаменатель дальше получится меньше.
2. Записать оба числа дробями. Целое ставят над единицей (2 = 2/1), смешанное переводят в неправильную дробь (2 1/3 = (2 × 3 + 1)/3 = 7/3).
3. Найти наименьший общий знаменатель — НОК двух знаменателей.
4. Переписать каждую дробь над ним, умножив числитель и знаменатель на одно и то же число.
5. Вычесть второй числитель из первого. Знаменатель не меняется; если второй числитель больше, результат отрицателен и сохраняет знак минус.
6. Сократить результат на наибольший общий делитель обеих частей и записать смешанным числом, если числитель больше знаменателя.

Ходовые примеры вычитания дробей

Где вычитание дробей встречается

• Кулинария: в банке 3/4 стакана, по рецепту нужно 1/2 — остаётся 1/4 стакана, а не половина от исходного.
• Столярка: снять 1/4 дюйма с доски в 7/8 дюйма — останется 5/8 дюйма, и общий знаменатель 8 стоит на любой рулетке.
• Время: задача на 2 1/3 часа, законченная на полчаса раньше, заняла 1 5/6 часа.
• Деньги и доли: владелец доли 2/3, продавший долю 1/3, остаётся с 1/3, и одинаковый знаменатель по обе стороны делает вычитание мгновенным.
• Уровни и запасы: бак заполнен на 1/4, а должен быть на 1/2 — не хватает 1/4, и при обратном порядке ввода страница честно назовёт это отрицательной разностью.

Границы и на что смотреть

• Порядок меняет ответ. 3/4 - 1/2 = 1/4, а 1/2 - 3/4 = -1/4. Вычитание не коммутативно, поэтому это две разные страницы с двумя разными ответами — в отличие от сложения, где у пары одна страница.
• Отрицательный ответ — настоящий ответ. 1/4 - 1/2 = -1/4. Переставить числа, чтобы уйти от минуса, значит ответить на другой вопрос: величина та же, знак нет.
• Знаменатели не вычитают никогда. 1/2 - 1/3 — это 1/6, а не 1/1 и не ноль. Знаменатель называет размер доли, а размер от того, что доли убрали, не меняется.
• Занимать единицу нужно только у смешанных чисел. 3 1/4 - 1/2 превращается в 13/4 - 2/4 = 11/4 вообще без займа, стоит записать оба числа неправильными дробями.
• Десятичная запись часто неточна. 1/2 - 1/3 = 1/6 — это 0,1666… без конца; если у сокращённого знаменателя есть простой множитель, кроме 2 и 5, десятичная дробь периодична, и страница помечает её знаком ≈. Точный ответ даёт дробь.
• Несокращённый ввод — тот же вопрос. 2/4 - 1/3 и 1/2 - 1/3 дают 1/6; страница сначала сокращает и говорит об этом, поэтому две страницы согласуются, а не спорят друг с другом.