Вынесение множителя из-под знака корня

Что значит вынести множитель из-под знака корня

Квадратный корень записан в простейшем виде, когда у числа под корнем нет делителей — полных квадратов, кроме 1. У √72 есть: 72 = 36 × 2, и 36 выносится из-под знака корня своим корнем, 6. Остаётся 6√2 — то же самое число, записанное точно и с наименьшим возможным подкоренным выражением. Упростить корень — значит сделать именно это.

Откуда берётся формула

Для неотрицательных чисел корень из произведения равен произведению корней: √(x × y) = √x × √y. Разбейте N на наибольший делитель-полный квадрат a² и остаток b — первый корень окажется целым, потому что √(a²) = a при a ≥ 0:

Правило верно только при x, y ≥ 0 — поэтому эта страница упрощает корни неотрицательных чисел и ничего больше.

Как вынести множитель из-под знака корня: три шага

1. Разложите число на простые множители: 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3.
2. Объедините одинаковые множители в пары: (2 × 2) × (3 × 3) × 2. Каждая пара — полный квадрат.
3. Вынесите из-под корня по одному множителю от каждой пары и перемножьте их, непарные оставьте под корнем: 2 × 3 × √2 = 6√2.

Разбор на примере: √72

Те же три шага целиком — и проверка, которая ловит неверный ответ:

Для небольших чисел есть короткий путь: идите по списку полных квадратов ниже с конца — от большего к меньшему — и остановитесь на первом, на который число делится. Для 72 это 36, и 72 ÷ 36 = 2 сразу даёт √72 = 6√2. Если взять квадрат поменьше — 4 или 9, — получится 2√18 или 3√8: это верно, но ещё не простейший вид, под корнем по-прежнему прячется квадратный множитель.

Полные квадраты от 4 до 400

Ходовые корни в простейшем виде

Где нужен корень в простейшем виде

• Школьная алгебра — ответ ждут в точной форме: 6√2, а не 8,485
• Теорема Пифагора — диагональ квадрата со стороной 3 равна √(3² + 3²) = √18 = 3√2
• Равносторонний треугольник — высота треугольника со стороной 4 равна √(4² − 2²) = √12 = 2√3
• Квадратные уравнения — у x² − 6x + 1 = 0 дискриминант 32, √32 = 4√2, поэтому x = 3 ± 2√2
• Сложение корней — складываются только подобные корни: √8 + √18 = 2√2 + 3√2 = 5√2
• Расстояние между точками — от (0, 0) до (2, 4) оно равно √(2² + 4²) = √20 = 2√5

Границы применимости

• Только неотрицательные числа. √−8 не является действительным числом; среди комплексных это 2i√2, и эта страница его не считает.
• Только целые числа. Корни из дробей и десятичных, например √(1/2) = √2 ÷ 2, требуют избавиться от иррациональности в знаменателе — это другая процедура.
• Только квадратные корни. Из-под кубического корня множитель выносится тройками одинаковых простых, а не парами: ∛16 = 2∛2.
• Десятичная запись — проверка, а не ответ. √2 иррационален, поэтому любая десятичная запись 6√2 округлена; точное значение — сам упрощённый корень.
• Диапазон. Форма принимает целые числа от 1 до 2 147 483 643.