Mínimo Múltiplo Comum de 3 números

O que é o MMC de três números

O mínimo múltiplo comum de três números é o menor inteiro positivo divisível por cada um deles sem deixar resto. Ele existe sempre — o produto dos três já é um múltiplo comum — e nunca é menor que o maior deles.

De onde vem a fórmula

Todo inteiro maior que 1 se decompõe em produto de primos, e de um único modo. Um número é divisível por a exatamente quando contém cada primo de a pelo menos tantas vezes quanto o próprio a. Para ser divisível pelos três ao mesmo tempo, ele precisa conter cada primo na maior das três potências; e, tomando apenas isso, ele acaba sendo o menor número com essa propriedade.

O atalho de dois números — MMC(a, b) = a × b ÷ MDC(a, b) — não tem análogo para três. Com 4, 6 e 10 o produto é 240 e o máximo divisor comum é 2, e 240 ÷ 2 = 120, enquanto o MMC verdadeiro é 60: com três números um primo compartilhado é descontado mais de uma vez.

Como calcular em três passos

1. Fatore os três números em primos, por exemplo 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3² e 30 = 2 × 3 × 5.
2. Para cada primo que apareça em pelo menos um deles, fique com a maior potência: 2², 3² e 5.
3. Multiplique essas maiores potências: 4 × 9 × 5 = 180. Esse é o mínimo múltiplo comum.

Fatoração contra pares, com um exemplo resolvido

Dois caminhos levam à mesma resposta, e vale a pena vê-los lado a lado com 12, 18 e 30. O primeiro coloca as potências dos primos em uma grade e lê o máximo de cada coluna:

O segundo caminho não fatora nada. Ele se apoia na associatividade — MMC(a, b, c) = MMC(MMC(a, b), c) — e aplica duas vezes a fórmula de dois números:

Qual usar é questão dos números, não de gosto. A grade é mais rápida enquanto as fatorações forem visíveis a olho nu, e ainda mostra por que a resposta é essa. O caminho aos pares continua rápido com números grandes demais para fatorar, porque o máximo divisor comum é achado pelo algoritmo de Euclides, que só divide com resto.

Trios comuns e seu MMC

Onde três números aparecem de fato

• Somar três frações — o denominador comum de 1/6 + 1/8 + 1/9 é o MMC de 6, 8 e 9, ou seja 72
• Horários que se repetem — três ônibus que saem a cada 12, 18 e 30 minutos voltam a coincidir depois de 180 minutos
• Engrenagens e correias — três rodas de 12, 18 e 30 dentes voltam à posição inicial após 180 passos
• Corte e embalagem — o menor quadrado que se cobre exatamente com tiras de 12 cm, 18 cm e 30 cm tem 180 cm de lado
• Aritmética modular — o período de três ciclos simultâneos é o MMC dos seus comprimentos
• Problemas escolares — «encontre o menor número divisível por 3, 4 e 5» é literalmente esta conta

Limites e ressalvas

• A ordem não importa. MMC(3, 4, 5), MMC(5, 3, 4) e MMC(4, 5, 3) são o mesmo 60, por isso há uma única página por trio sem ordem.
• Um 1 não muda nada — todo inteiro é divisível por 1, então MMC(1, 2, 3) = MMC(2, 3) = 6.
• Um número repetido também não muda nada — uma potência de primo já contada não é contada duas vezes: MMC(2, 4, 4) = MMC(2, 4) = 4.
• Coprimos dois a dois não é o mesmo que coprimos no conjunto. 6, 10 e 15 não têm nenhum fator comum aos três, mas cada par tem, e o MMC deles é 30, não 900.
• A resposta cresce muito rápido. Três números perto de um bilhão dão um MMC de 27 algarismos, e por isso esta página guarda o valor como inteiro exato e nunca como número de ponto flutuante.